题目

椭圆E： （ ）的离心率为 ，右焦点为F，上顶点为B，且 ． （1） 求椭圆E的方程： （2） 是否存在直线l，使得l交椭圆E于M，N两点，且F恰是 的垂心？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由， 答案： 解：由题意知： {e=ca=12a2=b2+c2=4 解得 a2=4 ， b2=3 ， 所以椭圆E的方程为 x24+y23=1 ； 解：由（1）知 B(0,3) ， F(1,0) ， ∴kBP=−3 ， 假设存在直线l，使得F是 ΔBMN 的垂心，则 BF⊥MN ． 设l的斜率为k，则 kBF．k=−1 ， ∴k=33 ， 设l的方程为 y=33x+m ， M(x1.y1) ， N(x2.y2) ， 由 {y=33x+mx24+y23=1 ，得 13x2+83mx+12(m2−3)=0 ， Δ=(83m)2−4×13×12(m2−3)>0 ，得 −393<m<393 ． x1+x2=8313 ， x1x2=12(m2−3)13 ， ∵MF⊥BN ， ∴MF→⋅BN→=0 ， ∵MF→=(1−x1,y1) ， BN→=(y2,y2−3) ， ∴(1−x1)x2−y1(y2−3)=0 即 (1−x1)x2−(33x1+m)(33x2+m)+3(33x1+m)=0 ， 整理得 ∴(1−33m)(x1+x2)−43x1x2−m2+3m=0 ∴(1−33m)(−8313)−43⋅12(m2−3)13−m2+3m=0 整理得 21m2−53m−48=0 ，解得 m=3 或 m=−16321 ． 当 m=3 时，直线MN过点B，不能构成三角形，舍去； 当 m=−16321 时，满足 −393<m<393 ， 所以存在直线l，使得F是 ΔBMN 的垂心， 所以l的方程为 y=33x−16321 ．

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