题目

已知 是椭圆C：   的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点。 （1） 若 为等边三角形，求 的离心率； （2） 如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。 答案： 解：连结 PF1 ，由 △POF2 为等边三角形可知在 △F1PF2 中， ∠F1PF2=90° ， |PF2|=c ， |PF1|=3c ，于是 2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c ，故 C 的离心率是 e=ca=3−1 . 由题意可知，满足条件的点 P(x,y) 存在当且仅当 12|y|⋅2c=16 ， yx+c⋅yx−c=−1 ， x2a2+y2b2=1 ，即 c|y|=16 ，① x2+y2=c2 ，② x2a2+y2b2=1 ，③ 由②③及 a2=b2+c2 得 y2=b4c2 ，又由①知 y2=162c2 ，故 b=4 . 由②③得 x2=a2c2(c2−b2) ，所以 c2≥b2 ，从而 a2=b2+c2≥2b2=32, 故 a≥42 . 当 b=4 ， a≥42 时，存在满足条件的点P. 所以 b=4 ， a 的取值范围为 [42,+∞) .

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