题目

如图，正方形ABCD中，直线a经过点A，且BE⊥a于E，DF⊥a于F. （1） 当直线a绕点A旋转到图1的位置时，求证：①△ABE≌△DAF；②EF＝BE+DF； （2） 当直线a绕点A旋转到图2的位置时，试探究EF、BE、DF具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明； （3） 当直线a绕点A旋转到图3的位置时，试问DF、EF、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不证明. 答案： 证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°. ∴∠BAE+∠DAF＝90°， 又∵BE⊥a，DF⊥a， ∴∠AEB＝∠DFA＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF， 在△ABE和△DAF中， {∠AEB=∠DFA∠ABE=∠DAFAB=AD ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）. ②∵△ABE≌△DAF， ∴BE＝AF，AE＝DF， ∵EF＝AF+AE， ∴EF＝BE+DF 解：EF＝DF﹣BE，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝90°， 又∵BE⊥a，DF⊥a， ∴∠AEB＝∠DFA＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中， {∠AEB=∠DFA∠ABE=∠DAFAB=AD ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）. ∴AE＝DF，BE＝AF， 又∵EF＝AE﹣AF， ∴EF＝DF﹣BE 解：EF＝BE﹣DF；理由如下： 同（2）得：△ABE≌△DAF（AAS）.   ∴AE＝DF，BE＝AF， 又∵EF＝AF﹣AE， ∴EF＝BE﹣DF.

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