题目

如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设点是的中点，求二面角的余弦值．答案：解：（Ⅰ）平面 PAC⊥ 平面 ABC ，平面 PAC∩ 平面 ABC =AC， BC⊂ 平面 ABC ， BC⊥AC ， ∴ BC⊥ 平面 PAC ， ∵ PA⊂ 平面 PAC ， ∴ BC⊥PA ， ∵ AC=PC ， M 是 PA 的中点， ∴ CM⊥PA ， ∵ CM∩BC=C ， CM,BC⊂ 平面 MBC ， ∴ PA⊥ 平面 MBC ．（Ⅱ）∵平面 PAC⊥ 平面 ABC ，平面 PAC∩ 平面 ABC =AC， PC⊂ 平面 PAC ， PC⊥AC ∴ PC⊥ 平面 ABC ， ∵ BC⊂ 平面 ABC ， ∴ PC⊥BC ，以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， A(2,0,0) ， B(0,4,0) ， C(0,0,0) ， P(0,0,2) ， M(1,0,1) ， N(0,2,1) ，则 CM→=(1,0,1) ， CN→=(0,2,1) ， PA→=(2,0,−2) ，由（Ⅰ）知 PA→=(2,0,−2) 是平面 MBC 的一个法向量，设 n→=(x,y,z) 是平面 MNC 的法向量，则有 {CM⇀⋅n⇀=0CN⇀⋅n⇀=0 ，即 {x+z=02y+z=0 ，令 y=1 ，则 z=−2 ， x=2 ， ∴ n→=(2,1,−2) ，设二面角 N−MC−B 所成角为 θ ，由图可得 θ 为锐角，则 cosθ=|cos<PA→,n→>|=|PA→⋅n→|PA→||n→||=|2×2+0×1−2×(−2)8⋅9|=223

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