题目

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC= . 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点. （1） 若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设 ，则k=； （2） 若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF； （3） 若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值． 答案： 【1】1 如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. 由题意，tan∠BAC= 12 ， ∴ BCAC=DEAE=12 . ∵D、E、B三点共线， ∴AE⊥DB. ∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴∠QBC=∠EAQ. ∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE . ∴ BCAC=DEAE=12 . ∴GB=DE. ∵F是BD中点， ∴F是EG中点. 在 Rt△ECG 中， CF=12EG , ∴ BE−DE=EG=2CF 情况1：如图，当AD= 13AC 时，取AB的中点M，连结MF和CM， ∵∠ACB=90°， tan∠BAC= 12 ，且BC= 6, ∴AC=12，AB= 65 . ∵M为AB中点，∴CM= 65 , ∵AD= 13AC ， ∴AD= 4 . ∵M为AB中点，F为BD中点， ∴FM= 13AC = 2. ∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM= 2+35 . 情况2：如图，当AD= 23AC 时，取AB的中点M，连结MF和CM， 类似于情况1，可知CF的最大值为 2+35 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为 2+35

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