题目

已知，如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1） 动手操作：利用尺规作，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O，与AB的另一个交点为E，与AC的另一个交点为F（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由。 （2） 若∠BAC=60度，CD= ，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和 ） 答案： 解：如图1； 解：（1）直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直线BC是⊙O的切线，∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；（2）如图2，∵∠BAC的角平分线AD交BC于D，∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°，∴∠DAB=∠B=30°，∴BD=AD．∵在Rt△ADC中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD= 3 ，∴AD=2CD=2 3 ，AC= 3 CD=3，∴BD=2 3 ，AB=2AC=6．设⊙O的半径为r，在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，即r2+（2 3 ）2=（6﹣r）2，解得r=2，OB=6﹣r=4，∵∠ODB=90°，∠B=30°，∴∠DOB=60°，∴S扇形ODE= 60×π×22360=23π ，S△ODB= 12 OD•BD= 12 ×2×2 3 =2 3 ，∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S△ODB﹣S扇形ODE= 23−23π ．

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