题目

定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如 ， ， 则和都是“和谐分式”. （1） 下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号） ①；②；③；④ （2） 将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：  （3） 应用：先化简 ， 并求x取什么整数时，该式的值为整数. （4） 拓展：若 ， 求A、B的值. 答案： 【1】①③④ a-1 解：3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x =3x+6x+1−x−1x×x(x+2)(x+1)(x−1) =3x+6x+1−x+2x+1 =2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1 =2+2x+1 ∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数 此时x=0或-2或1或-3 又∵分式有意义时x≠0、1、-1 ∴x=−3 所以当x=-3时，分式运算的结果是整数. 解：∵Ax−1+Bx+2=A(x+2)+B(x−1)(x−1)(x+2)=(A+B)x+2A−B(x−1)(x+2) 又2x+1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2 ∴{A+B=22A−B=1 解得，{A=1B=1

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