题目

如图，已知等边△ABC，AB＝12．以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD． （1） 求证：DF是⊙O的切线； （2） 求FG的长； （3） 求△FDG的面积． 答案： 证明：如图所示，连接OD. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60° ∵OD=OB ∴△OBD为等边三角形， ∴∠C=∠ODB=60°， ∴AC∥OD， ∴∠CFD=∠FDO， ∵DF⊥AC， ∴∠CFD=∠FDO=90°， ∴DF是⊙O的切线 解：因为点O是AB的中点，则OD是△ABC的中位线． ∵△ABC是等边三角形，AB=12， ∴AB= AC= BC= 12， CD=BD= 12 BC=6 ∵∠C=60°，∠CFD=90°， ∴∠CDF=30°，同理可得∠AFG=30°， ∴CF= 12 CD=3 ∴AF=12-3=9． ∴ FG=32×AF=32×9=932 ． 解：作DH⊥FG，CD=6，CF=3，DF=3 3 ∴FH= 332 ，DH= 92 ∴△FDG的面积为 12 DH · FG= 8138

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