题目

已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α． （1） 如图1，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形； （2） 如图2，当α=45°时，求证：① = ；②CE⊥DE． （3） 如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系是： =． 答案： 证明：如图1中，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=BA，∵DF∥AC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∴CF=AD，∠CFD=120°，∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠CFD=120°，∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，∵∠CDE=∠B=60°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC=DE，∵∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形 证明：①如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC=90°，∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B=180°，∴∠DFC=∠DAE=135°，∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，∵∠CDE=∠B=45°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴ DCDE = CFAD ，∵四边形ADFG是矩形，FC= 2 FG，∴FG=AD，CF= 2 AD，∴ CDDE = 2 ，②作CE′⊥DE于E′∵∠CDE=45°，∴DE′=CD•cos45°= 22 CD，∵DE= 22 CD，∴点E与点E′重合，∴CE⊥DE 【1】1

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