题目

已知幂函数 满足 ． （1） 求函数 的解析式； （2） 若函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为0？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由； （3） 若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由． 答案： 解：∵ f(x) 为幂函数，∴ p2−3p+3=1 ，∴ p=1 或 p=2 ． 当 p=1 时， f(x)=x−1 在 (0,+∞) 上单调递减， 故 f(2)>f(4) 不符合题意． 当 p=2 时， f(x)=x12=x 在 (0,+∞) 上单调递增， 故 f(2)<f(4) ，符合题意．∴ f(x)=x ． 解： g(x)=x+mx ， 令 t=x ．∵ x∈[1,9] ，∴ t∈[1,3] ，∴ g(x)=t2+mt ， t∈[1,3] ． 当 −m2≤1 时， t=1 时， g(x) 有最小值， ∴ 1+m=0 ， m=−1 ． ②当 1<−m2<3 时， t=−m2 时， g(x) 有最小值．∴ −m24=0 ， m=0 （舍）． ③当 −m2≥3 时， t=3 时， g(x) 有最小值， ∴ 9+3m=0 ， m=−3 （舍）．∴综上 m=−1 解： h(x)=n−x+3 ， 易知 h(x) 在定义域上单调递减， ∴ {h(a)=bh(b)=a ，即 {n−a+3=bh−b+3=a ， 令 a+3=S ， b+3=t ， 则 a=S2−3 ， b=t2−3 ，∴ {n−S=t2−3n−t=S2−3 ，∴ t2+S=S2+t ， ∴ (t−S)(t+S−1)=0 ． ∵ a<b ， ∴ S<t ，∴ t+S−1=0 ，∴ t=1−S ， ∴ a+3+b+3=1 ． ∵ a<b ，∴ −3≤a<−114 ，∴ S∈[0,12) ， ∴ n=t+S2−3 =S2−S−2 =(S−12)2−94 ．∴ n∈(−94,−2] ．

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