题目

天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP = CQ；（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP =PQ，∠APQ =∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形 APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长．答案：证明：如图1， ∵△ABC 与 △APQ 都是等边三角形， ∴∠BAC=∠PAQ=60° ， ∴∠1+∠3=∠2+∠3 ， ∴∠1=∠2 ．又 ∵AB=AC ， AP=AQ ， ∴△ABP≅△ACQ ， ∴BP=CQ ；解： ∠ABC=∠ACQ ，理由：如图2，在 △ABC 中， AB=BC ， ∴∠BAC=180°−∠ABC2 ，在 △PAQ 中， PA=PQ ， ∴∠PAQ=180°−∠APQ2 ， ∵∠APQ=∠ABC ， ∴∠BAC=∠PAQ ， ∴△BAC∼△PAQ ， ∴BAAC=PAAQ ，又 ∵∠1+∠3=∠BAC ， ∠2+∠3=∠PAQ ， ∴∠1=∠2 ， ∴△ABP∼△ACQ ， ∴ ∠ABC=∠ACQ ；解：如图3，连接 AB ， AQ ， ∵ 正方形 ADBC ， ∴ABAC=2 ， ∠BAC=45° ，又 ∵Q 为正方形 APEF 的中心， ∴APAQ=2 ， ∠PAQ=45° ， ∵∠1+∠3=∠BAC ， ∠2+∠3=∠PAQ ， ∴∠1=∠2 ， ∵ABAC=APAQ ， ∴△ABP∼△ACQ ， ∴ACAB=CQBP=22 ， ∵CQ=22 ， ∴BP=4 ，设 PC=x ，则 BC=AC=4+x ，在 Rt△APC 中， AP2=AC2+PC2 ，即 36=(4+x)2+x2 ，解得： x=−2±14 ， ∵x>0 ， ∴x=−2+14 ， ∴ 边长 AC=4+x=2+14 .

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