题目

如图甲所示，两平行金属板接有如图乙所示随时间t变化的电压U，两板间电场可看作均匀的，且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.2m．在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10﹣3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子速度v0=105 m/s，比荷q/m=108 C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的． （1） 试求带电粒子射出电场时的最大速度； （2） 证明：在任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和在MN上出射点的距离为定值，写出该距离的表达式； （3） 从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间． 答案： 解：偏转电压由0到200V的变化中，粒子流可能都能射出电场，也可能只有部分粒子能射出电场．设偏转的电压为U0时，粒子刚好能经过极板的右边缘射出． d2=12at2粒子的加速度： a=Fm=qU1md粒子在偏转电场中的时间： t=Lv联立以上三式解得：得U1=100V．知偏转电压为100V时，粒子恰好能射出电场，且速度最大．根据动能定理得， 12mv12=12mv02+q⋅U12代入数据解得： v1=2×105m/s=1.41×105 m/s．方向：斜向右上方或斜向右下方，与初速度方向成45°夹角．答：带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×105m/s． 解：设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ．粒子射出电场时速度大小为： v=v0sinθ又有洛伦兹力提供向心力：qvB=m v2R解得 R=mvqB=mv0qBsinθ ．因此粒子射进磁场点与射出磁场点间距离为：s=2Rsinθ= 2mv0qB=0.4 m．由此可看出，距离s与粒子在磁场中运行速度的大小无关，s为定值．答：证明略，距离为0.4m； 解：由（1）中结论可知，若粒子射出磁场的竖直分速度越大，则θ越小，故θ最小值为θm=45°，此情景下圆弧对应的圆心角为270°，入射粒子在磁场中运行最长时间为：tmax=3T4=3πm2qB=3π×10−6 s当粒子从上板边缘飞出电场在进入磁场时，在磁场中运动的时间最短：tmin=T4=πm2qB=π×10−6 s．答：粒子在磁场中运动的最长时间为3π×10﹣6s和最短时间为π×10﹣6s．

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