题目

已知椭圆 ： 的左焦点为 ， 为椭圆上一点， 交 轴于点 ，且 为 的中点． （1） 求椭圆 的方程； （2） 直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，平行于 的直线交 于 ，交椭圆 于不同的两点 ， ，问是否存在常数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由． 答案： 解：设椭圆的右焦点是 F1 ，在△ AFF1 中， OM//AF1 ，∴ c=1 ， ∴ b2a=22 ，∴ a=2 ， b=1 ，∴椭圆的方程为 x22+y2=1 ． 解：设直线 DE 的方程为 y=22x+t ，解方程组 {y=22x+t,x22+y2=1, 消去 y 得到 x2+2tx+t2−1=0 ， 若 D(x1,y1) ， E(x2,y2) ，则 x1+x2=−2t ， x1x2=t2−1 ，其中 Δ=4−2t2>0 ， |PD|⋅|PE|=(1+(22)2)2|xp−x1|⋅|xp−x2| =32|xp2−xp(x1+x2)+x1x2| ， 又直线 l 的方程为 x2+2y2=1 ，直线 DE 的方程为 y=22x+t ， ∴ P 点坐标 xp=2−2t2 ， yp=2+2t22 ， ∴ |PD|⋅|PE|=34t2 ， |AP|2=(2−2t2−1)2+(2+2t22−22)2=34t2 ， 所以存在常数 λ =1 ，使得 |PA|2=λ|PE|⋅|PD| ．

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