题目

已知向量 且 （1） 求 及 ； （2） 若   的最小值是 ，求实数 的值. 答案： 解： a→⋅b→=cos32xcosx2+sin32xsinx2=cosx ，|a→⋅b→|2=(cos32x+cosx2)2+(sin32xsinx2)2=2+2cosx=4cos2x2 ，∴x∈[0，π2]，∴cosx2≥0，∴|a→+b→|=4cos2x2=2cosx2 . 解： ∵f(x)=cosx−4λcosx2=2cos⋅x2−4λcosx2−1 ，∴f(x)=2(cosx2−1)2−1−2λ2 ，∵x∈[0，π2]，∴x2∈[0，π4]，∴cosx2∈[22，1] ，当 λ<22 时，当且仅当 cosx2=22 时， f(x) 取最小值 1−4λ2−1=−32 ，解得 λ=328 ；当 22≤λ≤1 时，当且仅当 cosx2=λ 时， f(x) 取最小值 1−2λ2=−32 ，解得 λ=12 （舍）；当 λ>1 时，当且仅当 cosx2=1 时， f(x) 取最小值 2−4λ−1=−32 ，解得 λ=58 （舍去），综上所述， λ=328 .

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