题目

有人设计了一种利用电磁场分离不同速率带电粒子的仪器，其工作原理如图所示。空间中充满竖直向下的匀强电场，一束质量为m、电量为-q（q＞0）的粒子以不同的速率从P点沿某竖直平面内的PQ方向发射，沿直线飞行到Q点时进入有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于该竖直平面，PQ=4l。若速度最大粒子在最终垂直于PT打到M点之前都在磁场内运动，且其它速度粒子在离开磁场后最终都能垂直打在PT上的NM范围内，PM=8l，PN=6l，若重力加速度大小为g，求： （1） 电场强度的大小； （2） 粒子速度大小的范围； （3） 磁场穿过该竖直平面内的最小面积。 答案： 解：带电粒子没PQ直线运动，说明重力和电场力二力平衡，由平衡条件可知 qE=mg 解得电场强度的大小为 E=mgq 解：进入磁场的速度方向沿PQ直线，说明圆心在过Q点垂直PQ的垂线上，若速度最大粒子在最终垂直于PT打到M点之前都在磁场内运动，说明圆心在PT上，所以圆心是垂直PQ的直线与PT的交战A，设最大速度为v1，做圆周运动的半径为R。由几何关系可知 (4l)2+R2=(8l−R)2 可以解得 R=3l ； PA¯=5l 由几何关系 cos∠QAP=RPA¯=35 ； ∠QAP=53° 带电粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得 qv1B=mv12R 解得，带电粒子最大速度为 v1=3qBlm 设最小速度为v2，做圆周运动的半径为r。其轨迹如下图蓝色圆所示，圆心在C点，因为三角形是AQM是等腰三角形，过C点作CD平行于PT交QM于D，由几何关系可知，CQ=CD，所以最小速度的带电粒子刚好从D点离开磁场。半径是CQ，过D点用DK平行于QA交PT于K，在直角三角形NDK中，由几何关系可知 r−l3l−r=35 解得 r=74l 带电粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得 qv2B=mv22r 解得，带电粒子最大速度为 v2=7qBl4m 所以带电粒子的速度范围为 7qBl4m≤v≤3qBlm 解：由几何关系可以证明： DK¯=KM¯=R−r 所以三角形KDM是等腰三解形，在DM间任一点作PT的平行线交QA的交点等于该点到Q点的距离，也就是说要想粒子在离开磁场后最终都能垂直打在PT上的NM范围内，带电粒子离开磁场的边界是DM线段。所以磁场穿过该竖直平面内的最小面积为 S=(180−53)πR2360−(180−53)πr2360−12(R+r)(R−r)sin53° 解得 S=198(127π−144144)l2

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