题目

已知过点 的动直线 与抛物线 ： 相交于 两点．当直线 的斜率是 时， . （1） 求抛物线 的方程； （2） 设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围． 答案： 解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.由 {x2=2pyx=2y−4 得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴ y1y2=4 ①， y1+y2=8+p2 ②又∵ AC→=4AB→ ，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y。 解：设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由 {x2=4yy=k(x+4) 得x2－4kx－16k＝0，④∴ x0=xC+xB2=2k ，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ 1k  (x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.   ∴b∈(2，＋∞)．

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