题目

如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1） 求此抛物线对应的函数表达式； （2） 在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 ， 在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 ， ， ， MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 ， 在抛物线AED上．设点的横坐标为 ， 求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 答案： 解：由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝−16，∴抛物线对应的函数表达式为y＝−16x2＋8； 解：（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，−16m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝−16m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（−16m2＋8）＋2m＝−12m2＋2m＋24＝−12（m－2）2＋26，∵−12＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝−12m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令−16x2＋8＝3，解得：x＝±30，∴此时P1的横坐标的取值范围为−30＋9≤P1横坐标≤30，方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－92）2＋814，∵－1＜0，∴当n＝92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1＝92，P2P3＝92，令−16x2＋8＝92，解得：x＝±21，∴此时P1的横坐标的取值范围为−21＋92≤P1横坐标≤21．

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