题目

已知动直线l：（m＋3）x－（m＋2）y＋m＝0与圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝9． （1） 求证：无论m为何值，直线l总过定点A，并说明直线l与圆C总相交． （2） m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值． 答案： 证明：直线 l 变形为 m(x−y+1)+(3x−2y)=0 ． 令 {x−y+1=03x−2y=0 解得 {x=2y=3 如图所示，故动直线 l 恒过定点A（2,3）． 而 |AC|=(2−3)2+(3−4)2=2<3  （半径）． ∴点A在圆内，故无论m取何值，直线与 l 圆C总相交． 解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线 l 时，弦长最小， 此时kl·kAC＝－1，即 m+3m+2⋅4−33−2=−1 ，∴ m=−52 最小值为 232+(2)2=27 ． 故 m=−52 时，直线 l 被圆C所截得的弦长最小，最小值为 27 ．

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