题目

在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，且直线 与以原点为圆心，椭圆C短轴长为直径的圆相切． （1） 求b的值； （2） 若椭圆C左右顶点分别为 ，过点 作直线 与椭圆交于 两点，且 位于第一象限，A在线段 上． ①若 和 的面积分别为 ，问是否存在这样的直线 使得 ？请说明理由； ②直线 与直线 交于点C，连结 ，记直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值． 答案： 解：由题意知：直线 y=x+2 与圆 x2+y2=b2 相切， ∴ 圆心到直线的距离 d=|2|12+(−1)2=b ， ∴b=1 解：由（1）知：椭圆方程为 x24+y2=1 ，则 M(−2,0) ， N(2,0) ， ①易知直线 PA 的斜率不为零，设直线 PA:x=t(y−2)−2 ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 则将直线 PA 与椭圆联立整理得： (t2+4)y2−4t(t+1)y+4t2+8t=0 ， {Δ=16t2(t+1)2−16t(t+2)(t2+4)>0y1y2=4t(t+1)t2+4>0y1y2=4t2+8tt2+4>0 ，解得： −83<t<−2 ； ∴S1+S2=y1+y2=4t2+4tt2+4=1 ，即 3t2+4t−4=0 ，解得： t=−2 或 t=23 ， 这与 −83<t<−2 不符，所以不存在满足条件的直线 l ； ②设 C(x3,y3) ，由 O,P,C 三点共线知： y3=−x3 ， 由 N,A,C 三点共线知： y3x3−2=y1x1−2=x32−x3 ， ∴x3=2y1x1+y1−2 ， y3=−2y1x1+y1−2 ， ∴k1⋅k2=y2x2+2×−y1x1+2y1−2=y2t(y2−2)×−y1(t+2)y1−2t−4=−y1y2t(t+2)(y1−2)(y2−2) =1t(t+2)×−y1y2y1y2−2(y1+y2)+4 ， 由①知： y1+y2=4t(t+1)t2+4 ， y1y2=4t2+8tt2+4 ∴k1k2=−1t(t+2)×4t(t+2)4t(t+2)−8t(t+1)+4(t2+4)=−416=−14 ，则 k1k2 为定值.

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