题目

已知函数 ． （1） 讨论函数 的单调区间及极值； （2） 若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值． 答案： 解：由 f(x)=mx2−lnx 得 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，且 f′(x)=2mx2−1x ①当 m≤0 时， f′(x)<0 恒成立，∴ f(x) 在 (0,+∞) 上是减函数，无极值； ②当 m>0 时，令 f′(x)>0 ，得 x>12m ，令 f′(x)<0 ，得 0<x<12m 所以函数 f(x) 在 (12m,+∞) 上为增函数，在 (0,12m) 为减函数， 且当 x=12m 时，有极小值 12(1+ln2m) ，无极大值． 解： F(x)+mx−1≥0 恒成立，即 m≥2(lnx+x+1)x2+2x 恒成立，       令 h(x)=2(lnx+x+1)x2+2x ，则 h′(x)=−2(x+1)(2lnx+x)(x2+2x)2 令 φ(x)=2lnx+x 显然 φ(x) 是增函数，且 φ(1)>0, φ(12)=12−ln4<0 ∴∃t∈(12,1) ，使 φ(t)=0 即 2lnt+t=0 且当 0<x<t 时， φ(x)<0, x>t 时， φ(x)>0    ∵−2(x+1)(x2+2x)2<0 ∴h(x) 在 (0,t) 上是增函数，在 (t,+∞) 上是减函数 ∴当 x=t 时， h(x) 有最大值 h(t)=2(lnt+t+1)t2+2t=1t ∵t∈(12,1)   ∴1t∈(1,2) 所以整数 m 的最小值为2

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