题目

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA1的中点，BC＝BD＝1， ． （1） 求证：MD⊥平面BDC1； （2） 求二面角M-BC1-D的余弦值． 答案： 证明：因为BC=BD= 1 ，CD=AB= 2 ，可得BC2+BD2=CD2， ∴ BD ⊥ BC， 又 ∵ AD // BC， ∴ BD ⊥ AD . 又 ∵ ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱， ∴ DD1 ⊥ 平面ABCD， ∴ DD1 ⊥ BD . ∵ DD1∩AD=D ， ∴ BD ⊥ 平面ADD1A1， ∴ BD ⊥ MD， 取BB1中点N，连接NC ，MN， ∵MN//DC 且， ∴MNCD 为平行四边形， ∴MD//NC ，   ∵NBBC=BCCC1 = 22 ， ∴△NBC~△BCC1 ， ∴∠C1BC+∠BCN=90∘ ， ∴ BC1 ⊥ CN，  又 ∵ MD // NC， ∴ MD ⊥ BC1， 又BC1 ∩BD =B， ∴ MD ⊥ 平面BDC1； 解：以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的坐标系， 则 B(0,1,0) ， C1(−1,1,2) ， M(1,0,22) ， BM→=(1,−1,22) ， BC1→=(−1,0,2) ， 由（1）可知 DM→ 为平面BDC1的一个法向量， DM→=(1,0,22) ， 设平面C1BM的一个法向量为 n→=(x,y,z) ， ∴ {BC1⇀⋅n⇀=0BM⇀⋅n⇀=0 ，则 {−x+2z=0x−y+22z=0 ，可取 n→=(2,322,1) ， 设二面角M-BC1- D为 θ ， 所以 cosθ=DM→⋅n→|DM→||n→|=105 ， 即二面角M-BC1- D的余弦值为 105 .

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