题目

函数 的定义域为 ，且对一切 ，都有 ，当 时，总有 . （1） 求 的值； （2） 判断 单调性并证明； （3） 若 ，解不等式 . 答案： 解：令 x=y=1 ,得 f(1)=f(11)=f(1)−f(1) ,∴ f(1)=0 . 解： f(x) 是 (0,+∞) 上的增函数,证明：任取 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2 ,则 f(x2)−f(x1)=f(x2x1) ,∴ x2x1>1 ,∴ f(x2x1)>0 , 即 f(x2)>f(x1) , ∴ f(x) 是 (0,+∞) 上的增函数. 解：由 f(42)=f(4)−f(2) 及 f(4)=6 ,可得 f(2)=3 ,结合（2）知不等式 f(x−1)≤3 等价于 f(x−1)≤f(2) ,可得 {x−1>2x−1≤2 ,解得 1<x≤3 .所以原不等式的解集为 (1,3]

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