题目

已知函数 . （1） 证明：函数 是奇函数； （2） 判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明. 答案： 证明：函数f (x）的定义域为 {x|x≠0} ，关于原点对称， 又 f(−x)=−x−4x=−(x+4x)=−f(x) , 所以，函数f (x)为奇函数. 解： f(x) 在区间 (2,+∞) 上是增函数. 证明： ∀x1,x2∈(2,+∞) 且 x1<x2 ， 有 f(x1)−f(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2) =(x1−x2)+(4x1−4x2) =x1−x2x1x2(x1x2−4) ， ∵2<x1<x2, ∴x1x2>4,x1x2−4>0,x1−x2<0 , ∴x1−x2x1x2(x1x2−4)<0 ， 即 f(x1)<f(x2) ， ∴ 函数 f(x) 在区间 (2,+∞) 上是增函数.

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