题目

如图， 的边 边所在直线的方程为 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 ． （I）求 边所在直线的方程； （II）求 的外接圆的方程； （III）若点 的坐标为 ，其中 为正整数。试讨论在 的外接圆上是否存在点 ，使得 成立？说明理由. 答案：解： （I） ∵ AT⇀⋅AB⇀=0 ∴ AT⊥AB ，又 T 在 AC 上 ∴ AC⊥AB ， ΔABC 为 RtΔABC ， 又 AB 边所在直线的方程为 x−3y−6=0 ，所以直线 AC 的斜率为 −3 ． 又因为点 T(−1，1) 在直线 AC 上， 所以 AC 边所在直线的方程为 y−1=−3(x+1) ．即 3x+y+2=0 ． （II） AC 与 AB 的交点为 A ，所以由 {x−3y−6=0，3x+y+2=0  解得点 A 的坐标为 (0，−2) ， ∵ 2BM⇀=BC⇀ ∴ BM⇀=BC⇀−BM⇀=MC⇀ ∴ M(2，0) 为 RtΔABC 斜边上的中点。即为 RtΔABC 外接圆的圆心 又 r=|AM|=(2−0)2+(0+2)2=22 ． 从 ΔABC 外接圆的方程为： (x−2)2+y2=8 ． （III）由 N(−n，0) ， T(−1，1) ，知 NT 的斜率为 1n−1 ，线段 NT 的中点为 (−n+12，12) 线段 NT 的垂直平分线 L 为 y−12=−(n−1)(x+n+12)     即 (1−n)x−2y+(2−n2)=0 圆 M 的圆心 M 到直线 L 的距离为 d=|2(1−n)−0+2−n2|(1−n)2+(−2)2=|n2+2n−4|n2−2n+5   i)当 n=1 时， d=12 ，而 r=22 ，由 d<r ，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P. ii)当 n=2 时 ，d=45<22=r ，此时直线 L 与圆 M 相交，存在满足条件的点P. iii)当 n≥3 时， n2+2n>4，4n−9>0，n2−2n+5−8=n2−2n−3=(n+1)(n−3)≥0 ∴ d=n2+2n−4n2−2n+5=n2−2n+5+4n−9n2−2n+5>n2−2n+5≥22=r ，此时直线 L 与圆 M 相离，不存在满足条件的点 P . 综上：当n=1或2时，存在点P，当n ≥3 时，不存在点P.

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