题目

如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，在长度为8m的两支柱OC和AB之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为5m． （1） 建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式； （2） 求支柱EF的长度； （3） 拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于0.3m），行车道最宽可以铺设多少米? 答案： 解：根据题意，设拱桥抛物线的函数表达式为： y=ax2+bx ， ∵相邻两支柱间的距离均为5m， ∴OA=4×5m=20m， ∴（20，0），（10，6）两点都在抛物线上， ∴ {400a+20b=0，100a+10b=6. ，解得 {a=−350，b=65. ∴ y=−350x2+65x . 解：设点F的坐标为（15，y）， ∴ y=−350×152+65×15=92 ． ∴EF=8m −92 m= 72 m=3.5m． 解：当y=3+0.3=3.3（m）时，有 −350x2+65x=3.3 ， 化简，得 x2−20x+55=0 ， 解得 x=10±35 ， x1=3.292 ， x2=16.708 ， ∴ x2−x1=16.708−3.292=13.416≈13.4 ． 答：行车道最宽可以铺设13.4米.

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