题目

如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面向里．竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l．带电量 q＞0，质量为m的小球P，以初速度v从a对准b射入磁场．略去空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m 和B均为不变的给定量． （1） 若无论 l 取什么值，均可使P 经直线运动通过b 点，试问v应取什么值？ （2） 若v为（1）问可取值之外的任意值，则 l可取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？ （3） 对每一个满足（2）问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间． （4） 对每一个满足（2）问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，再求P在以后运动过程中可达到的最大运动速率vmax ． 答案： 解：小球受重力和洛仑兹力，做直线运动，合力如果不为零，与速度不共线，矛盾，故小球做匀速直线运动，故：mg＝qvB 解得：v＝ mgqB 答：若无论 l 取什么值，均可使P 经直线运动通过b 点，问v应为 mgqB ； 解：如果速度不等于 mgqB ，则洛仑兹力不等于重力，做曲线运动； 将速度v分解为向右的速度v1＝ mgqB 和水平速度v2＝|v﹣ mgqB |，故小球的实际运动是以v1向右做匀速直线运动和以速度v2做匀速圆周运动的合运动； 运动时间为：t＝ 1v1=1qBmg ； 粒子的圆周运动的周期：T＝ 2πmqB ，故：t＝nT 联立解得：l＝ 2πnm2gq2B2    （其中n＝1、2、3、…） 答：若v为（1）问可取值之外的任意值，则当l＝ 2πnm2gq2B2  （其中n＝1、2、3、…）时，可使P必定会经曲线运动通过b点 解：由第二问分析可知：t＝nT＝ 2πnmqB   （其中n＝1、2、3、…） 答：对每一个满足（2）问要求的l值，各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间均为 2πnmqB  （其中n＝1、2、3、…）． 解：初速度为零，分解为一对相反的水平速度，分速度大小均为 mgqB ； 故水平分运动的位移为l的运动时间为：t＝ 1v1 ＝ 2πn2mqB （其中n＝1、2、3、…） 小球的圆周运动（分运动）的周期：T＝ 2πmqB ， 故t＝nT 故小球也可以通过b点； 当两个分运动的速度相同时，速度最大，故：vmax＝2v1＝ 2mgqB 答：对每一个满足（2）问要求的l值，P能从a静止释放后通过b点，P在以后运动过程中可达到的最大运动速率vmax为 2mgqB ．

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