题目

如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE. （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；（3）求证：＝CD•CA. 答案：证明：连接OB、OE，如图所示：在△ABO和△EBO中， {AB=BEOA=OEOB=OB ， ∴△ABO≌△EBO（SSS）， ∴∠BAO＝∠BEO， ∵⊙O与边BC切于点E， ∴OE⊥BC， ∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD， ∴AB是⊙O的切线；解：∵BE＝3，BC＝7， ∴AB＝BE＝3，CE＝4， ∵AB⊥AD， ∴AC＝ BC2−AB2 ＝ 72−32 ＝2 10 ， ∵OE⊥BC， ∴∠OEC＝∠BAC＝90°， ∠ECO＝∠ACB， ∴△CEO∽△CAB， ∴ OEAB=CEAC ，即 OE3=4210 ，解得：OE＝ 3105 ， ∴⊙O的半径长为 3105 . 证明：连接AE，DE， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∵BA是⊙O的切线， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAE＋∠EAD＝90°， ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴∠DEC＝∠EAD， ∴△EDC∽△AEC， ∴ CECD=CACE ， ∴ CE2 ＝CD•CA.

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