题目

已知圆的圆心为 ， 点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. （1） 求点的轨迹的方程； （2） 不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 答案： 易知A(−1，0)，∵点B是抛物线y2=4x的焦点，∴B(1，0)，依题意|GA|+|GB|=|AP|=4>2=|AB|，所以点G轨迹是一个椭圆，其焦点分别为A，B，长轴长为4，设该椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则2a=4，2c=2，∴a=2，c=1，∴b2=a2−c2=3，故点G的轨迹E的方程为x24+y23=1. 易知直线1的斜率存在，设直线1：y=kx+t(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，y0)，由{y=kx+t3x2+4y2=12得：(4k2+3)x2+8ktx+4t2−12=0，∵Δ=(8kt)2−4(3+4k2)(4t2−12)>0，即4k2−t2+3>0①又x1+x2=−8kt4k2+3，x1⋅x2=4t2−124k2+3故Q(−4kt4k2+3，3t4k2+3)，将Q(−4kt4k2+3，3t4k2+3)，代λy2=4x，得：t=−16k(4k2+3)9②，(k≠0)，将②代入①，得：162k2(4k2+3)<81，4×162k4+3×162k2−81<0，即k4+34k2−(932)2<0，即(k2−332)(k2+2732)<0，即k2−332<0，∴−68<k<68且k≠0，即k的取值范围为：−68<k<0或0<k<68.

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