题目

已知函数f（x）=lnx﹣ax2 ， g（x）=f（x）+ax2﹣x． （1） 求函数f（x）的极值； （2） 设x1＞x2＞0，比较 ﹣ 与1的大小关系，并说明理由． 答案： 解：依题意f′（x）= 1x ﹣2ax= 1−2ax2x ，x∈（0，+∞）， ①若a≤0，则f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）无极值；②若a＞0，则f′（x）= (1−2ax)(1+2ax)x ，此时1+ 2a x＞0，x＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ 12a ，令f′（x）＜0，解得x＞ 12a ，故函数f（x）的单调增区间为（0， 12a ），单调减区间为（ 12a ，+∞），故函数f（x）的极大值为f（ 12a ）=﹣ 12 （ln2a+1），无极小值．综上所述，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）有极大值﹣ 12 （ln2a+1），无极小值 解：依题意，g（x）= x1x12+x22 ﹣ lnx1−lnx2x1−x2 ， 要比较 x1x12+x22 ﹣ g(x1)−g(x2)x1−x2 与1的大小，即比较 x1x12+x22 与 lnx1−lnx2x1−x2 的大小，∵x1﹣x2＞0，∴可比较 x1(x1−x2)x12+x22 与lnx1﹣lnx2的大小，令t= x1x2 （t＞1），即比较 t2−1t2+1 与lnt的大小．设G（t）= t2−1t2+1 ﹣lnt，则G′（t）= t3(1−t)−(t+1)t(t2+1)2 ，因为t＞1，所以G′（t）＜0，所以函数G（t）在（1，+∞）上单调递减，故G（t）＜G（1）=0，所以G（t）＜0对任意t＞1恒成立，所以 x1(x1−x2)x12+x22 ＜lnx1﹣lnx2，所以 x1x12+x22 ﹣ g(x1)−g(x2)x1−x2 ＜1

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