题目

已知矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE于点F． （1） 如图1，若 ，求AE·AF的值； （2） 如图2，连接AC交DF于点G，若 ，求cos∠FCE的值； （3） 如图3，延长DF交AB于点G，若G点恰好为AB的中点，连接FC，过A作AK∥FC交FD于K，设△ADK的面积为S1 ， △CDF的面积为S2 ， 则 的值为． 答案： 解：在Rt△ABE和Rt△AFD中，∵∠BAC+∠FAD=∠BAC+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AEB，证得△ABE∽△DFA，，∴AE·AF＝AD·BE＝22×2＝4； 解： 延长DF交CB延长线于点P，可证得，设BE=k，则BC=2k， AD=2k， CP=3k， PE=2k，ADPE=DFFP=1 ， DMPM=ADPB=21，设DF=FP=3m， 则MD=4m.易证△ADF∽△ABM，则AD2=DF×FM，4k2=3m×4m， 解得m=33k，DF=3m=3k，∴cos∠ADF=DFAD=3k2k=32，得∠ADF=30°，∵AD∥PC，∴∠PBE=∠ADF=30°，又∵F为斜边PD的中点，∠FCE=∠∠PBE=30°，∴ cos∠FCE＝ 32； 【1】38

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