题目

（1） 【问题提出】 如图1，在矩形ABCD中， ， ，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为； （2） 【问题探究】 如图2，在 中，AD为BC边上的高，且 ，点P为 内一点，当 时，求 的最小值； （3） 【问题解决】 李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC，如图3， 米， ， ，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得 ，并在 内种植当季蔬菜，边BC的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC边上取点E，并沿PE、DE修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（ ）尽可能小，问 的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由. 答案： 【1】7 解：作AD的垂直平分线l，如图2. 图2 ∵ S△PBC=12S△ABC ， ∴点P到BC的距离等于 12AD ， ∴点P在 △ABC 内直线l上. 作点B关于直线l的对称点 B′ ，连接 BB′ 、 PB′ 、 CB′ ， CB′ 交直线l于点 P′ ，连接 BP′ ， 则 BB′=AD=BC ， PB=PB′ ， P′B=P′B′ ， ∴ PB+PC=PB′+PC . ∵ PB′+PC≥B′C ， ∴当点P在点 P′ 的位置时， PB+PC 取得最小值，最小值为 B′C 的长. ∵ BB′⊥l ， AD⊥l ， AD⊥BC ， ∴ B′B⊥BC . ∴ △B′BC 为等腰直角三角形， ∴ B′C=2BC=42 ， 即 PB+PC 的最小值为 42 . 解：如图3，作点D关于AC的对称点 D′ ，连接 PD′ 交AC于点E，则 DE=D′E ， ∴ PE+DE=PE+D′E ， ∴当点P、E、 D′ 共线时， PE+DE 取得最小值， ∴当 PD′ 取得最小值时， PE+DE 的值最小. 以AB为边向左作等边 △ABM ，作 △ABM 的外接圆⊙O，连接OB、OP、如图3. ∵ ∠APB=120° ， ∠AMB=60° ， ∴点P在劣弧 AB⌢ 上运动，连接 OD′ 交⊙O于点 P′ ，则 OP=OP′ . ∵ OP+PD′≥OD′ ， OD′=OP′+P′D′ ， ∴ PD′≥P′D′ ，即 PE+DE 的最小值为 P′D′ 的长. ∵⊙O为等边 △ABM 的外接圆， ∴BO平分∠ABM， ∴ ∠OBA=30° . 又∵ ∠ABC=60° ， ∴ ∠OBD′=90° . ∵ BC=2003 米， ∠ABC=60° ， ∠ACB=90° ， ∴ AB=2BC=4003 米， ∴易得 OP=OP′=OB=400 米， BD′=3003 米， ∴ OD′=OB2+BD′2=10043 （米）， ∴ P′D′=OD′−OP′=10043−400 （米）.

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