题目

已知 是函数 的极值点. （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求证：函数 存在唯一的极小值点 ，且 . （参考数据： ， ，其中e为自然对数的底数） 答案：解：(Ⅰ)因为 f'(x)=2ax−12−lnx ，且 x=1  是极值点， 所以 f'(1)=2a−12=0 ，所以 a=14  . 此时 f'(x)=x2−12−lnx  ，设 g(x)=f'(x)  ，则 g'(x)=12−1x=x−22x  . 则当 0<x<2  时， g'(x)<0，g(x)  为减函数. 又 g(1)=0，g(2)=12−ln2<0 ， 所以在 0<x<1 时， g(x)>0  ， f(x)  为增函数； 1<x<2  时， g(x)<0  ， f(x) 为减函数.所以 x=1 为 f(x) 的极大值点，符合题意. （Ⅱ）当 x>2  时， g'(x)>0 ， g(x) 为增函数，且 g(4)=32−2ln2>0  ， g(2)<0 所以存在 x0∈（2,4）,g(x0)=0  当 2<x<x0  时， g(x)<0  ， f(x) 为减函数； x>x0  时， g(x)>0  ， f(x)  为增函数，所以函数 f(x) 存在唯一的极小值点 x0  . 又 g(72)=54−ln72  ，已知 16e5<74  ，可得 e5<(72)4⇒5<4ln72  ， 所以 g(72)<0 ，所以 72<x0<4  ， 且满足 x02−12−lnx0=0  . 所以 f(x0)=x024+x02−x0lnx0=−x024+x0∈(0，716)  . 其中 f(x0)>0 也可以用如下方式证明： f(x)=14x2+x2−xlnx=x(x4+12−lnx)  ，设 h(x)=x4+12−lnx  ， 则 h'(x)=14−1x=x−44x . 则当 0<x<4  时， h'(x)<0  ， h(x) 为减函数；当 x>4  时， h'(x)>0 ， h(x)  为增函数. 所以 h(x)≥h(4)=32−2ln2>0   所以在 f(x)>0  ，所以 f(x0)>0

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