题目

如图，矩形 的两条边 、 分别在y轴和x轴上，已知点B 坐标为(4，–3).把矩形 沿直线 折叠，使点C落在点A处，直线 与 、 、 的交点分别为D、F、E.   （1） 线段 ； （2） 求点D坐标及折痕 的长; （3） 若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，则请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由; 答案： 【1】5 解： ∵AC=5 ，由折叠可得： DE⊥AC,AF=FC=52 ∵∠FCD=∠OCA , ∠DFC=∠AOC=90°, ∴ΔDFC∽ΔAOC ∴DFAO=FCOC=CDCA ∴DF3=524=CD5 . ∴DF=158,DC=258 ∴OD=OC−DC2=4−258=78⋅∴D(78,0)                ∵四边形OABC是矩形， ∴AB//DC, ∴∠EAF=∠DCF ∵AF=CF ∴ΔAFE≅ΔCFD(ASA) ∴EF=DF. ∴DE=2DF=2×158=154 ∴拆痕DE的长为 154   解：由（2）可知， AE=CD=258 ， ∴E(258,−3),D(78,0) 若以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形，则 ΔDEP 必为等腰三角形。                    当 DE=DP 时，可知 P1(378,0),P2(−238,0) ， 此时PE为对角线，可得 Q1(558,−3),Q2(−58,−3) 当 ED=EP 时，可知 P3(438,0) ，此时DP为对角线，可得 Q3(258,3) ； 当 DP=EP 时，P与C重合，Q与A重合， Q4(0,−3) 综上所述，满足条件的点Q坐标为 (558,−3),(−58,−3),(258;3),(0,−3)

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