题目

已知抛物线 与直线 交于 两点，若点 在抛物线上，且 的面积为 ，求点 的坐标. 答案：解：设 A(x1,y1),B(x2,y2) ， M(b24,b) {y=x−1y2=4x   ⇒x2−6x+1=0 ，∴ x1+x2=6 ∵直线 AB 过抛物线焦点 F(1,0) ，∴ |AB|=|AF|+|FB| ， 将 |AF|、|FB| 转化为到准线的距离， |AF|=x1+12p，|FB|=x2+12p ， 所以 |AB|=|AF|+|FB|=x1+x2+p=8 设点 M 到直线 AB 的距离为 d 12|AB|·d=42 ，∴ d=2 ∴点 M 到直线 AB 的距离为 d=|b24−b−1|2=2 ∴ b=2 或 b=6 或 b=−2 ∴ M(1,2) 或 M(9,6) 或 M(1,−2)

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