题目

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝4． （1） 填空：点B的坐标为（用含m的代数式表示）； （2） 把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8： ①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）； ②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为 时，求m的值． 答案： 【1】（m﹣4，0） 解：①S△ABP＝ 12 •AB•yP＝2yP＝8，∴yP＝4， 把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，此时，直线AP表达式中的k值为1， 设：直线AP的表达式为：y＝x+b， 把点A坐标代入上式得：m+b＝0，即：b＝﹣m， 则直线AP的表达式为：y＝x﹣m， 则点P的坐标为（4+m，4）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m+4）， 把点P坐标代入上式得：a（4+m﹣m）（4+m﹣m+4）＝4， 解得：a＝ 18 ， 则抛物线表达式为：y＝ 18 （x﹣m）（x﹣m+4）， ②抛物线的对称轴为：x＝m﹣2， 当x＝m﹣2≥1（即：m≥3）时，x＝0时，抛物线上的点到x轴距离为最大值， 即： 18 （0﹣m）（0﹣m+4）＝ ±12 ，解得：m＝2或2±2 2 ， ∵m≥3，故：m＝2+2 2 ； 当0≤x＝m﹣2≤1（即：2≤m≤3）时，在顶点处，抛物线上的点到x轴距离为最大值， 即：﹣ 18 （m﹣2﹣m）（m﹣2﹣m+4）＝ 12 ，符合条件， 故：2≤m≤3； 当x＝m﹣2≤0（即：m≤2）时，x＝1时，抛物线上的点到x轴距离为最大值， 即： 18 （1﹣m）（1﹣m+4）＝ ±12 ，解得：m＝3或3±2 2 ， ∵m≤2，故：m＝3﹣2 2 ； 综上所述，m的值为：2+2 2 或3﹣2 2 或2≤m≤3

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