题目

如图，四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=BC，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接CE，过点B作BG⊥CE于点F，交AD于点G. （1） 如图1，CD=AB. ①求证：四边形ABCD是正方形； ②求证：G是AD中点； （2） 如图2，若CD<AB，请判断G是否仍然是AD的中点?若是，请证明：若不是，请说理由. 答案： 证明： ①由旋转的性质可得：AB=BC ∵CD=AB ∴AB=BC=CD 又∵CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形 因为∠ABC=90°，AB=BC ∴平行四边形ABCD是正方形. ②设AB与EC交于P点， ∵BG⊥CE，∠ABC=90°， ∴∠PCB+∠BPC=90°，∠ABG+∠BPC=90° ∴∠PCB=∠ABG 又∵BC=AB,∠ABC=∠BAG=90° ∴△PBC≌△GAB ∴AG=AP 又∵AE=BC,∠ABC=∠EAB=90°,ED∥BC ∴∠BCP=∠AEP ∴△PAE≌△PBC ∴AP=PB= 12 AB ∴AG= 12 AD 即G是AD中点 解：G仍然是AD的中点； 证明：延长CD、BG，相交于点M，延长EA交CM于点N. 由旋转可知， AB⊥EN，AE＝CD ∴四边形ABCN是正方形. ∴AN＝CN＝BC，AN⊥CM 易证：△BCM≌△CNE ∴CM＝NE,CM－CD＝NE－AE，即：DM＝AN ∴AB＝AN＝DM. ∴△ABG≌△DMG ∴AG＝DG.

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