题目

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2=0． 答案：证明：先证必要性：∵a+b=1，∴b=1﹣a∴a3+b3+ab﹣a2﹣b2=a3+（1﹣a）3+a（1﹣a）﹣a2﹣（1﹣a）2=a3+1﹣3a+3a2﹣a3+a﹣a2﹣a2﹣1+2a﹣a2=0再证充分性：∵a3+b3+ab﹣a2﹣b2=0∴（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣ab+b2）=0即：（a2﹣ab+b2）（a+b﹣1）=0∵ab≠0，a2﹣ab+b2=a-12b2+34b2>0，∴a+b﹣1=0，即a+b=1综上所述：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2=0

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