题目

已知数列{an}满足a1=1，an+1= ． （Ⅰ）求证：an+1＜an；（Ⅱ）求证： ≤an≤ ． 答案：解：（Ⅰ）证明：由a1=1，an+1= anan2+1 ，得an＞0，（n∈N）， 则an+1﹣an= anan2+1 ﹣an= −an3an2+1 ＜0，∴an+1＜an；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知0＜an＜1，又an+1= anan2+1 ．，∴ an+1an = 1an2+1 ≥ 12 ，即an+1＞ 12 an，∴an＞ 12 an﹣1≥（ 12 ）2an﹣1≥…≥（ 12 ）2an﹣1≥（ 12 ）n﹣1a1= 12n ，即an≥ 12n−1 ．由an+1= anan2+1 ，则 1an+1 =an+ 1an ，∴ 1an+1 ﹣ 1an =an，∴ 1a2 ﹣ 1a1 =a1=1， 1a3 ﹣ 1a2 =a2= 12 ， 1a4 ﹣ 1a3 =a3=（ 12 ）2… 1an ﹣ 1an−1 =an﹣1≥（ 12 ）n﹣2，累加得 1an ﹣ 1a1 =1+ 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n﹣2= 1−12n−11−12 =2﹣（ 12 ）n﹣2，而a1=1，∴ 1an ≥3﹣（ 12 ）n﹣2= 3⋅2n−2−12n−2 = 2n3⋅2n−4 ，∴an≤ 2n3⋅2n−4 ．综上得 12n−1 ≤an≤ 2n3⋅2n−4

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