题目

已知：如图，在△ 中， ， 是边 上的中线， 于点 ， 与 交于点 . （1） 求证： ； （2） 过点 作 交 的延长线于点 .求证： 答案： 证明：∵ AB=AC ， AD 是边 BC 上的中线， ∴AD⊥BC，BD=CD, ∴∠ACD+∠CAD=90°. ∵ BE⊥AC , ∴∠EBD+∠ACB=90°, ∴∠CAD=∠CBD, ∵∠BDH=∠CDH=90°, ∴△BDH∽△ADC, ∴ BDAD=DHCD , ∴ BD2=DH⋅DA ; 证明：如图所示，连接CH. ∵AD⊥BC，BD=CD, ∴AD垂直平分BC， ∴BH=CH, ∴∠HBD=∠HCD, ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ABH=∠ACH. ∵AB∥CF， ∴∠BFC=∠FBA. ∴∠BFC=∠ECH. 在△CFH与△ECH中， ∵∠BFC=∠ECH，∠CHE=∠CHF， ∴△CFH∽△ECH， ∴CH:HE=HF:CH. 又∵BH=CH， ∴BH2=HE·HF.

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