题目

已知函数 . （1） 若 ，求实数 的取值范围； （2） 若 ，且 ，求证： ， 答案： 解：不等式可化为： f(x+1)+f(x−1)=|2x+3|+|2x−1|≤5 ， 当 x≤−32 时， −2x−3−2x+1=−4x−2≤5 ，解得： x≥−74 ， ∴−74≤x≤−32 ； 当 −32<x<12 时， 2x+3−2x+1=4≤5 ， ∴−32<x<12 ； 当 x≥−12 时， 2x+3+2x−1=4x+2≤5 ，解得： x≤34 ， ∴−12≤x≤34 ； 综上所述：实数 x 的取值范围为 [−74,34] . 解： f(x+a)+f(x−1a)=|2x+2a+1|+|2x−2a+1|≥|(2x+2a+1)−(2x−2a+1)| =|2a+2a| （当且仅当 (2x+2a+1)(2x−2a+1)≤0 时取等号）， 又 |2a+2a|=2(|a|+1|a|)≥4|a|⋅1|a|=4 （当且仅当 |a|=1|a| ，即 a=±1 时取等号）， ∴f(x+a)+f(x−1a)≥4 .

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