题目

如图所示，某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40°，开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？ 答案：解：设汽车前进20千米后到达点B， 则在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC= AC2+BC2−AB22AC·BC = 302+202−2122×31×20 = 2331 ，则sinC= 1−cos2C = 12331 ，由已知∠AMC=60°，∴∠MAC=120°﹣C，sin∠MAC=sin（120°﹣C）=sin120°cosC﹣cos120°sinC= 35362 在△MAC中，由正弦定理得 MC=AC·sin∠MACsin∠AMC = 31×3536232 =35从而有MB=MC﹣BC=15（千米）所以汽车还需行驶15千米，才能到达M汽车站．

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