题目

公差不为零的等差数列{an}中，a1 ， a2 ， a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{bn}的前n项和为Sn ， 且满足Sn= ，n∈N* ． （1） 求数列{an}，{bn}的通项公式； （2） 记得数列{ }的前n项和为Tn ， 求Tn的取值范围． 答案： 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100， ∴ a22 =a1a5，即 (a1+d)2 =a1（a1+4d），10a1+ 10×92 d=100，联立解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．又满足Sn= aba ，n∈N*，∴Sn=2bn﹣1，当n=1时，b1=2b1﹣1，解得b1=1．当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），化为：bn=2bn﹣1，∴数列{bn}是等比数列，首项为1，公比为2．∴bn=2n﹣1． 解： 1+an4bn = 1+2n−14×2n−1 = n2n ． ∴前n项和为Tn= 12+222 + 323 +…+ n2n ， 12Tn = 122+223 +…+ n−12n + n2n+1 ，∴ 12Tn = 12+222 +…+ 12n ﹣ n2n+1 = 12(1−12n)1−12 ﹣ n2n+1 =1﹣ 2+n2n+1 ，∴Tn=2﹣ 2+n2n ．n≥2时，Tn﹣Tn﹣1= n2n ＞0．∴数列{Tn}单调递增，∴ 12≤ Tn＜2．

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