题目

如图，设椭圆C1： =1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．答案：解：∵椭圆C1： x2a2+y2b2 =1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是 32 ．∴c= 3 ，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程： x24+y2=1 解：过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立 {x=my+2y2=8x 得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|= 1+m2(y1+y2)2−4y1y2 =8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）联立 {y=−m(x−2)x24+y2=1 得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，xC+2= 16m21+4m2 ，⇒xC= 2(4m2−1)4m2+1 ．∴|CF|= 1+m2|xc−xF|=44m2+1 • 1+m2 ．△ABC面积s= 12 |AB|•|CF|= 16(1+m2)4m2+1⋅1+m2 ．令 1+m2=t ，则s=f（t）= 16t34t2−3 ，f′（t）= 16(4t2−9t2)(4t2−3)2 ，令f′（t）=0，则t2= 94 ，即1+m2= 94 时，△ABC面积最小．即当m=± 52 时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=± 52 y+2

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