题目

设函数 ， ， ． （1） 讨论 的单调性； （2） 当 且 时，函数 ，证明： 存在极小值点 ，且 ． 答案： 解：因为 f′(x)=a−axex=a(1−x)ex ， 当 a>0 时，由 f′(x)<0 ，可得 x>1 ，所以 f(x) 在 (1,+∞) 上为减函数； 由 f′(x)>0 ，可得 x<1 所以 f(x) 在 (−∞,1) 上为增函数． 当 a<0 时，由 f′(x)<0 ，可得 x<1 ，所以 f(x) 在 (−∞,1) 上为减函数， 由 f′(x)>0 ，可得 x>1 ，所以 f(x) 在 (1,+∞) 上为增函数； 综上所述：当 a>0 时， f(x) 在 (−∞,1) 上为增函数，在 (1,+∞) 上为减函数； 当 a<0 时， f(x) 在 (−∞,1) 上为减函数， f(x) 在 (1,+∞) 上为增函数； 证明：因为 a=1 ，所以 F(x)=ex(m+lnx+1x) ， x∈(0,+∞) ， 则 F′(x)=ex(m+lnx+1x)+ex(1x−1x2)=ex(m+2x−1x2+lnx) ， 因为 ex>0 ，所以 F′(x) 与 m+2x−1x2+lnx 同号． 设 t(x)=m+2x−1x2+lnx ， x∈(0,+∞) ，则 t′(x)=x2−2x+2x3 ， 所以对任意 x∈(0,+∞) ，都有 t′(x)>0 ，所以 t(x) 在 (0,+∞) 上单调递增． 因为 m∈(0,ln2) ， t(1)=m+1>0 ， t(12)=m+ln12<0 ， 所以存在 x0∈(12,1) ，使得 t(x0)=0 ． 当 x∈(12,x0) 时， F′(x)<0 ，  F(x) 单调递减； 当 x∈(x0,1) 时， F′(x)>0 ，  F(x) 单调递增； 所以若 m∈(0,ln2) ，存在 x0∈(12,1) ，使得 x0 是 F(x) 的极小值点． 由 t(x0)=0 得： m+2x0−1x02+lnx0=0 ， 即 m+lnx0=1x02−2x0=1−2x0x02<0 ． 故 m+lnx0<0 ．

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