题目

函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值． 答案：解：（1）函数f（x）=2x．∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，∴函数f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．对于g（x）=x3，如果存在M＞0满足|x3|≥M|x|，而当x=M2时，由|M2|≥M|M2|，∴M2≥M，得M≤0，矛盾，∴g（x）=x3不是“圆锥托底型”函数．（2）∵f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．∴x≠0时，M≤|x+1x|=|x|+1|x|，此时当x=±1时，|x|+1|x|取得最小值2，∴M≤2．而当x=0时，也成立．∴M的最大值等于2．

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