题目

△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高. （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数. 答案：解：∵∠B＝40°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝ 12 ∠BAC＝39°， ∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中， ∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11° 解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝ 12 ∠BAC＝90°﹣ 12 （∠B+∠C）， ∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中， ∵∠EAC＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣ 12 （∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）＝ 12 （∠C﹣∠B）解：设∠ACB＝α， ∵AE⊥BC， ∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α， ∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G， ∴∠CAG＝ 12∠ EAC＝ 12 （90°﹣α）＝45°﹣ 12α ，∠BCG＝ 12∠ BCF＝ 12 （180°﹣α）＝90°﹣ 12α ， ∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°﹣ 12α ）﹣α﹣（90°﹣ 12α ）＝45°.

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