题目

已知函数 （a、b是常数且a＞0，a≠1）在区间[﹣ ，0]上有ymax=3，ymin= ； （1） 试求a和b的值． （2） 又已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1） ①若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；②若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域． 答案： 解：y′=（2x+2） ax2+2xlna ； ∴①若a＞1，x∈ [−32，−1) 时，y′＜0，x∈（﹣1，0）时，y′＞0；∴x=﹣1时，函数y取得极小值，即最小值b+ 1a = 52 ①；y=b+ ax2+2x =b+ a(x+1)2−1 ；显然， (−32+1)2−1<(0+1)2−1 ，又a＞1；∴x=0时，函数y取得极大值，即最大值b+1=3，b=2，带入①即可求出a=2，符合a＞1；②由①得：x=﹣1时，函数y取得最大值b+ 1a =3       ①；x=0时，函数y取得最小值b+1= 52 ，b= 32 ，带入①得a= 23 ，符合0＜a＜1；所以a=2，b=2，或a= 23 ，b= 32 解：①因为f（x）的定义域为R，所以ax2+2x+1＞0对一切x∈R成立； 由此得 {a>0△=4−4a<0 解得a＞1．又因为 ax2+2x+1=a(x+1a)2+1−1a ≥1−1a ；∴f（x）=lg（ax2+2x+1）≥lg（1﹣ 1a ）；∴实数a的取值范围是（1，+∞），f（x）的值域是 [lg(1−1a)，+∞) ；②因为f（x）的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域包含（0，+∞）；当a=0时，u=2x+1的值域为R⊇（0，+∞）；当a≠0时，u=ax2+2x+1的值域包含（0，+∞），则 {a>0△=4−4a≥0 ；解之得0＜a≤1；∴a的取值范围是[0，1]；要使函数f（x）有意义，则：ax2+2x+1＞0    ①；由上面知方程ax2+2x+1=0有两个实根： x1=−2−4−4a2a，x2=−2+4−4a2a ；所以不等式①的解是（﹣∞，x1）∪（x2，+∞），即函数f（x）的定义域为（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）

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