题目

若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B（﹣b，a），（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程． 答案：解：（Ι）∵点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=cosα-sinαsinαcosα对应变换的作用下得到的点为B（﹣b，a），∴acosα-bsinα=-basinα+bcosα=a得cosα=0sinα=1即M=0-110，由M﹣1M=1001得M﹣1=01-10．（Ⅱ）设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=1上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）则有xy=01210x0y0，即x0=yy0=2x又∵点P在曲线C：x2+y2=1上，∴4x2+y2=1，即曲线C'的方程为椭圆4x2+y2=1．

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