题目

已知函数f（x）=2x3-ax2+b. （1） 讨论f（x）的单调性； （2） 是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。 答案： 解： f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a) ． 令 f′(x)=0 ，得x=0或 x=a3 . 若a>0，则当 x∈(−∞,0)∪(a3,+∞) 时， f′(x)>0 ；当 x∈(0,a3) 时， f′(x)<0 ．故 f(x) 在 (−∞,0),(a3,+∞) 单调递增，在 (0,a3) 单调递减； 若a=0， f(x) 在 (−∞,+∞) 单调递增； 若a<0，则当 x∈(−∞,a3)∪(0,+∞) 时， f′(x)>0 ；当 x∈(a3,0) 时， f′(x)<0 ．故 f(x) 在 (−∞,a3),(0,+∞) 单调递增，在 (a3,0) 单调递减. 满足题设条件的a，b存在. （i）当a≤0时，由（1）知， f(x) 在[0，1]单调递增，所以 f(x) 在区间[0，l]的最小值为 f(0)=b ，最大值为 f(1)=2−a+b .此时a，b满足题设条件当且仅当 b=−1 ， 2−a+b=1 ，即a=0， b=−1 ． （ii）当a≥3时，由（1）知， f(x) 在[0，1]单调递减，所以 f(x) 在区间[0，1]的最大值为 f(0)=b ，最小值为 f(1)=2−a+b ．此时a，b满足题设条件当且仅当 2−a+b=−1 ，b=1，即a=4，b=1． （iii）当0<a<3时，由（1）知， f(x) 在[0，1]的最小值为 f(a3)=−a327+b ，最大值为b或 2−a+b ． 若 −a327+b=−1 ，b=1，则 a=323 ，与0<a<3矛盾. 若 −a327+b=−1 ， 2−a+b=1 ，则 a=33 或 a=−33 或a=0，与0<a<3矛盾． 综上，当且仅当a=0， b=−1 或a=4，b=1时， f(x) 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．

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