题目

在平面直角坐标系 中，设中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆 的左、右焦点分别为 ，右准线 与 轴的交点为 ， . （1） 已知点 在椭圆 上，求实数 的值； （2） 已知定点 ．① 若椭圆 上存在点 ，使得 ，求椭圆 的离心率的取值范围；② 如图，当 时，记 为椭圆 上的动点，直线 分别与椭圆 交于另一点 ，若 且 ，求证： 为定值． 答案： 解：设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ，则 a2c=m+1，m+1−m=1=c ，所以 a2=m+1，b2=a2−c2=m ，椭圆的标准方程为 x2m+1+y2m=1 ，代入点 (62，1) ，解得 m=2 （舍负）.（先求标准方程也可） 解：①点 F1 坐标为 (−1，0) ，设点 T 坐标为 (x，y) ，由 TATF1=2 ，得 (x+2)2+y2=2[(x+1)2+y2] ，化简，得 x2+y2=2 ，与椭圆方程 x2m+1+y2m=1 联立，得 y2=m2−m ，而 0≤y2≤m ，则 0≤m2−m≤m解得 1≤m≤2 ，离心率 e=1m+1∈[33，22] ，（也可以从长半轴短半轴与圆的半径关系求 m 的范围）所以，椭圆 C 的离心率的取值范围为 [33，22] .②设点 M、P、Q 的坐标分别为 (x0，y0)、(x1，y1)、(x2，y2) ，则AM⇀=(x0+2，y0)，AP⇀=(x1+2，y1) ，由 AM⇀=λAP⇀ 得{x0+2=λ(x1+2)y0=λy1 ，则 {x0=λx1+2λ−2y0=λy1 ，代入 x022+y02=1 ，整理得λ2(x122+y12)+2(λ−1)x1+2(λ−1)2−1=0 ，而 x122+y12=1 ，则2λ(λ−1)x1+3λ2−4λ+1=0 ，而由题意，显然 λ≠1 ，则 x1=−3λ−12λ ，所以 x0=λ−32 ；同理，由 BM⇀=μBQ⇀ 得， x0=3−μ2=λ−32 ，所以， λ+μ=6

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